Question

求下列整数的最大 $2$ 位素因数： $n=\binom{200}{100}$ 。

What is the largest $2$ -digit prime factor of the integer $n=\binom{200}{100}?$

答案

答案：61

知识点：勒让德公式质数质因数分解

难度评级：2440

小提示：

对素数 $p>50$ ，比较 $p$ 在 $200!$ 中的指数与它在 $100!$ 中指数的两倍

For a prime $p>50,$ compare the exponent of $p$ in $200!$ with twice its exponent in $100!$

大提示：

从 $67$ 到 $99$ 的素数会抵消，而从 $51$ 到 $66$ 的素数不会

Primes from $67$ through $99$ cancel; primes from $51$ through $66$ do not

解答：

对素数 $p>50$ ，有 $p^2>200$ ，所以 $\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor \end{aligned}\text{。}$ 若 $67\leq p<100$ ，该式为 $2-2=0$ ；若 $50<p\leq66$ ，该式为 $3-2=1$ 。因此没有大于 $66$ 的素数整除该二项式系数，而 $50$ 与 $66$ 之间的每个素数都能整除它。其中最大的素数是 $61$ 。

For a prime $p>50,$ we have $p^2>200,$ so $\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}$ If $67\leq p<100,$ this is $2-2=0.$ If $50<p\leq66,$ it is $3-2=1.$ Hence no prime greater than $66$ divides the binomial coefficient, while every prime between $50$ and $66$ does. The largest such prime is $61.$

1983 AIME 第 8 题

答案：61

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

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