Question

点 $(0,0)$ 、 $(a,11)$ 和 $(b,37)$ 是一个等边三角形的三个顶点。求 $ab$ 的值。

The points $(0,0),$ $(a,11),$ and $(b,37)$ are the vertices of an equilateral triangle. Find the value of $ab.$

答案

答案：315

知识点：坐标几何向量等边三角形

难度评级：1940

小提示：

向量 $(b,37)$ 是向量 $(a,11)$ 旋转 $60^\circ$ 或 $-60^\circ$ 后得到的

The vector $(b,37)$ is a rotation of $(a,11)$ through $60^\circ$ or $-60^\circ$

大提示：

先利用旋转后的第二个坐标，再计算第一个坐标

Use the second coordinate of the rotation first, then compute the first coordinate

解答：

若旋转角为 $60^\circ$ ，则 $37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2}\text{，}$ 所以 $a=21\sqrt3$ 。于是第一个坐标为 $b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3\text{。}$ 反向旋转会使两个数同时变号，乘积不变。因此 $ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315$ 。

For a $60^\circ$ rotation, $37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},$ so $a=21\sqrt3.$ The first coordinate is then $b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.$ The opposite orientation changes both signs and leaves the product unchanged. Hence $ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.$

1994 AIME 第 8 题

答案：315

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题