Question

两个正数的调和平均数定义为它们倒数的算术平均数的倒数。正整数有序对 $(x,y)$ 满足 $x<y$ ，并且 $x$ 与 $y$ 的调和平均数等于 $6^{20}$ 。这样的有序对有多少个？

The harmonic mean of two positive numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of their reciprocals. For how many ordered pairs of positive integers $(x,y),$ with $x<y,$ is the harmonic mean of $x$ and $y$ equal to $6^{20}?$

答案

答案：799

知识点：调和平均数因数个数质因数分解

难度评级：2380

小提示：

令 $N=6^{20}$ ，把 $\frac{2xy}{x+y}=N$ 整理成乘积形式

For $N=6^{20},$ rearrange $\frac{2xy}{x+y}=N$ into a product

大提示：

计算 $N^2$ 的互补因数对，并要求两个因数都是偶数

Count complementary factor pairs of $N^2$ in which both factors are even

解答：

令 $N=6^{20}$ 。整理调和平均数方程可得 $(2x-N)(2y-N)=N^2\text{。}$ 由于 $x<N<y$ 且 $N<2x$ ，两个因数都是正数，并且都必须是偶数。反过来，每个满足 $AB=N^2$ 且 $A<B$ 的偶数因数分解，都通过 $x=\frac{A+N}{2}$ 和 $y=\frac{B+N}{2}$ 给出一个有效的有序对。

现在 $N^2=2^{40}3^{40}$ 。为了使两个互补因数都是偶数，对于素数 $2$ ，它在 $A$ 中的指数可取 $1,\ldots,39$ ；而对于素数 $3$ ，相应指数可取 $0,\ldots,40$ 。这给出 $39\cdot41=1599$ 个因数 $A$ ，其中包括中心因数 $A=N$ 。将互补因数配对并排除中心情形，得到 $\frac{1599-1}{2}=799$ 。

Let $N=6^{20}.$ Rearranging the harmonic-mean equation gives $(2x-N)(2y-N)=N^2.$ Because $x<N<y$ and $N<2x,$ the two factors are positive, and both must be even. Conversely, each factorization $AB=N^2$ with even $A<B$ gives one valid pair via $x=\frac{A+N}{2}$ and $y=\frac{B+N}{2}.$

Now $N^2=2^{40}3^{40}.$ For both complementary factors to be even, the exponent of $2$ in $A$ can be $1,\ldots,39,$ while the exponent of $3$ can be $0,\ldots,40.$ This gives $39\cdot41=1599$ divisors $A,$ including the central factor $A=N.$ Pairing complementary divisors and excluding that central case gives $\frac{1599-1}{2}=799.$

1996 AIME 第 8 题

答案：799

难度评级：2380

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解答：

其他年份的第 8 题