Question

在一个 $7\times7$ 棋盘中，有两个方格涂成黄色，其余方格涂成绿色。如果一种配色方案可以通过在棋盘平面内旋转得到另一种方案，就称这两种方案等价。共有多少种不等价的配色方案？

Two of the squares of a $7\times7$ checkerboard are painted yellow, and the rest are painted green. Two color schemes are equivalent if one can be obtained from the other by applying a rotation in the plane of the board. How many inequivalent color schemes are possible?

答案

答案：300

知识点：伯恩赛德引理组合 rotational symmetry

难度评级：2270

小提示：

分别计算四种旋转所保持的两个黄色方格配色方案数，再取平均值

Average the numbers of two-square colorings fixed by the four rotations

大提示：

只有旋转半周才能保持一对非平凡方格不变

Only a half-turn can fix a nontrivial pair of squares

解答：

在恒等旋转下，所有 $\binom{49}{2}=1176$ 对方格都保持不变。旋转四分之一周或四分之三周时，轨道大小只能为 $1$ 或 $4$ ，所以没有由两个黄色方格组成的集合保持不变。旋转半周恰好保持关于中心对称的 $24$ 对方格不变。因此由伯恩赛德引理可得 $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ 种不等价配色方案。

Under the identity rotation, all $\binom{49}{2}=1176$ pairs are fixed. A quarter-turn or three-quarter-turn has only orbits of sizes $1$ and $4,$ so it fixes no two-square set. A half-turn fixes exactly the $24$ pairs of squares opposite one another across the center. Burnside’s Lemma therefore gives $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ inequivalent colorings.

1996 AIME 第 7 题

答案：300

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题