Question

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB = 12$ 、 $BC = 25$ 、 $CA = 17$ 。长方形 $PQRS$ 的顶点 $P$ 在 $\overline{AB}$ 上，顶点 $Q$ 在 $\overline{AC}$ 上，顶点 $R$ 和 $S$ 在 $\overline{BC}$ 上。用边长 $PQ = w$ 表示时， $PQRS$ 的面积可写成二次多项式 $\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2\text{。}$ 其中系数 $\beta = \frac{m}{n}$ ， $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 12,$ $BC = 25,$ and $CA = 17.$ Rectangle $PQRS$ has vertex $P$ on $\overline{AB},$ vertex $Q$ on $\overline{AC},$ and vertices $R$ and $S$ on $\overline{BC}.$ In terms of the side length $PQ = w,$ the area of $PQRS$ can be expressed as the quadratic polynomial $\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$ Then the coefficient $\beta = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：161

知识点：相似海伦公式面积

难度评级：2470

小提示：

用海伦公式可得 $ABC$ 的面积为 $90$ ，所以从 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的高为 $\frac{36}{5}$

Heron’s formula gives area $90$ for $ABC,$ so the altitude from $A$ to $\overline{BC}$ is $\frac{36}{5}$

大提示：

三角形 $APQ$ 与 $ABC$ 相似，相似比为 $\frac{w}{25}$ ，所以长方形的高为 $\frac{36}{5}\left(1 - \frac{w}{25}\right)$

Triangle $APQ$ is similar to $ABC$ with ratio $\frac{w}{25},$ so the rectangle’s height is $\frac{36}{5}\left(1 - \frac{w}{25}\right)$

解答：

由海伦公式，半周长 $s = 27$ ，所以 $ABC$ 的面积为 $\sqrt{27 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{8100} = 90$ ，因此从 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的高为 $h = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{36}{5}$ 。

因为 $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ ，三角形 $APQ$ 与 $ABC$ 相似，相似比为 $\frac{w}{25}$ ，所以从 $A$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $\frac{w}{25}h$ ，长方形的高为 $PS = h - \frac{w}{25}h$ 。面积为 $\begin{aligned} &w \cdot h\left(1 - \frac{w}{25}\right) \\ &= \frac{36}{5}\,w - \frac{36}{125}\,w^2 \end{aligned}\text{。}$

因此 $\beta = \frac{36}{125}$ ，所以 $m + n = 36 + 125 = 161$ 。

By Heron’s formula with $s = 27,$ the area of $ABC$ is $\sqrt{27 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{8100} = 90,$ so the altitude from $A$ to $\overline{BC}$ has length $h = \frac{2 \cdot 90}{25} = \frac{36}{5}.$

Since $\overline{PQ} \parallel \overline{BC},$ triangle $APQ$ is similar to $ABC$ with ratio $\frac{w}{25},$ so the distance from $A$ down to line $PQ$ is $\frac{w}{25}h,$ and the rectangle’s height is $PS = h - \frac{w}{25}h.$ The area is $\begin{aligned} &w \cdot h\left(1 - \frac{w}{25}\right) \\ &= \frac{36}{5}\,w - \frac{36}{125}\,w^2. \end{aligned}$

Thus $\beta = \frac{36}{125},$ and $m + n = 36 + 125 = 161.$

2015 AIME II 第 7 题

答案：161

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