Question

在四边形 $ABCD$ 中， $BC = 8$ ， $CD = 12$ ， $AD = 10$ ，且 $m\angle A = m\angle B = 60^\circ$ 。已知 $AB = p + \sqrt{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数，求 $p + q$ 。

In quadrilateral $ABCD,$ $BC = 8,$ $CD = 12,$ $AD = 10,$ and $m\angle A = m\angle B = 60^\circ.$ Given that $AB = p + \sqrt{q},$ where $p$ and $q$ are positive integers, find $p + q.$

答案

答案：150

知识点：余弦定理等边三角形

难度评级：2450

小提示：

延长 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ ，使它们交于 $P$ ；两个 $60^\circ$ 角使三角形 $ABP$ 成为等边三角形

Extend $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ to meet at $P;$ the two $60^\circ$ angles make triangle $ABP$ equilateral

大提示：

在三角形 $PDC$ 中使用余弦定理，其中 $PD = AB - 10$ ， $PC = AB - 8$ ，且 $\angle P = 60^\circ$

Apply the Law of Cosines in triangle $PDC,$ where $PD = AB - 10,$ $PC = AB - 8,$ and $\angle P = 60^\circ$

解答：

延长射线 $AD$ 和 $BC$ ，直到它们交于 $P$ 。三角形 $ABP$ 在 $A$ 和 $B$ 处都有 $60^\circ$ 角，所以它是等边三角形： $PA = PB = AB$ 。记 $x = AB$ ，则 $PD = PA - AD = x - 10$ ， $PC = PB - BC = x - 8$ 。

在三角形 $PDC$ 中用余弦定理， $\angle P = 60^\circ$ ，且 $DC = 12$ ，得到 $\begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $x^2 - 18x - 60 = 0$ ，并且 $x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}$ 。

因此 $p + q = 9 + 141 = 150$ 。

Extend rays $AD$ and $BC$ until they meet at $P.$ Triangle $ABP$ has $60^\circ$ angles at $A$ and $B,$ so it is equilateral: $PA = PB = AB.$ Writing $x = AB,$ we get $PD = PA - AD = x - 10$ and $PC = PB - BC = x - 8.$

The Law of Cosines in triangle $PDC,$ with $\angle P = 60^\circ$ and $DC = 12,$ gives $\begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned}$ so $x^2 - 18x - 60 = 0$ and $x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.$

Thus $p + q = 9 + 141 = 150.$

2005 AIME I 第 7 题

答案：150

难度评级：2450

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