Question

将整数 $k$ 分别加到 $36$ 、 $300$ 和 $596$ 上，所得三个数是一个等差数列中连续三项的平方。求 $k$ 。

If the integer $k$ is added to each of the numbers $36,$ $300,$ and $596,$ one obtains the squares of three consecutive terms of an arithmetic series. Find $k.$

答案

答案：925

知识点：等差数列平方差方程组

难度评级：2250

小提示：

将这三个等差数列项写成 $x$ 、 $x+r$ 和 $x+2r$

Write the three arithmetic-sequence terms as $x,$ $x+r,$ and $x+2r$

大提示：

将相邻的平方方程相减，再把所得的两个方程相减

Subtract adjacent square equations, then subtract those two resulting equations

解答：

设这三项为 $x$ 、 $x+r$ 和 $x+2r$ 。将平方方程相减，得到 $r(2x+r)=300-36=264$ 和 $r(2x+3r)=596-300=296\text{。}$ 两式相减得 $2r^2=32$ ，所以 $r=\pm4$ 。将三个数列项同时取相反数不会改变它们的平方，因此不妨取 $r=4$ 。接着由 $4(2x+4)=264$ ，得 $x=31$ 。因此 $k=x^2-36=961-36=925$ 。

Let the three terms be $x,$ $x+r,$ and $x+2r.$ Subtracting the square equations gives $r(2x+r)=300-36=264$ and $r(2x+3r)=596-300=296.$ Their difference is $2r^2=32,$ so $r=\pm4.$ Negating all three terms does not change their squares, so take $r=4.$ Then $4(2x+4)=264,$ giving $x=31.$ Therefore $k=x^2-36=961-36=925.$

1989 AIME 第 7 题

答案：925

难度评级：2250

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题