1998 AIME Problem 7

Below is the professionally curated solution for Problem 7 of the 1998 AIME, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 1998 AIME solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:stars and bars substitution parity

Difficulty rating: 2010

Let $n$ be the number of ordered quadruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ of positive odd integers that satisfy $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98.$ Find $\frac{n}{100}.$

答案

Solution:

Write $x_i = 2y_i - 1$ where each $y_i$ is a positive integer. Then $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ becomes $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) - 4 = 98,$ so $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51.$

By stars and bars, the number of solutions in positive integers is $\binom{50}{3} = 19600.$ Therefore $\frac{n}{100} = 196.$

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