Question

设 $n$ 为正奇整数有序四元组 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 的个数，这些四元组满足 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ 。求 $\frac{n}{100}$ 。

Let $n$ be the number of ordered quadruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ of positive odd integers that satisfy $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98.$ Find $\frac{n}{100}.$

答案

答案：196

知识点：隔板法换元法奇偶性

难度评级：2010

小提示：

代入 $x_i = 2y_i - 1$ ，把奇数变量转化为任意正整数变量

Substitute $x_i = 2y_i - 1$ to turn the odd variables into arbitrary positive integers

大提示：

新方程是 $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51$ ；用插板法计算它的正整数解个数

The new equation is $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51;$ count its positive solutions with stars and bars

解答：

令 $x_i = 2y_i - 1$ ，其中每个 $y_i$ 都是正整数。于是 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ 变为 $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) - 4 = 98$ ，所以 $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51$ 。

由插板法，正整数解的个数为 $\binom{50}{3} = 19600$ 。因此 $\frac{n}{100} = 196$ 。

Write $x_i = 2y_i - 1$ where each $y_i$ is a positive integer. Then $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ becomes $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) - 4 = 98,$ so $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51.$

By stars and bars, the number of solutions in positive integers is $\binom{50}{3} = 19600.$ Therefore $\frac{n}{100} = 196.$

1998 AIME 第 7 题

答案：196

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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