Question

求表达式 $(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}$ 实部的最大可能值，其中 $z$ 是满足 $|z| = 4$ 的复数。这里 $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$ 。

Find the largest possible real part of $(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}$ where $z$ is a complex number with $|z| = 4.$ Here $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$

答案

答案：540

知识点：复数三角恒等式最优化

难度评级：2410

小提示：

写作 $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ ，并分别取每一项的实部

Write $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ and take the real part of each term

大提示：

你会得到形如 $a\cos\theta + b\sin\theta$ 的表达式，其最大值为 $\sqrt{a^2 + b^2}$

You get an expression of the form $a\cos\theta + b\sin\theta,$ whose maximum is $\sqrt{a^2 + b^2}$

解答：

写 $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ ，所以 $\frac{1}{z} = \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)$ 。 $(75 + 117\mathrm{i})z$ 的实部为 $4(75\cos\theta - 117\sin\theta)$ $= 300\cos\theta - 468\sin\theta$ ，而 $(96 + 144\mathrm{i}) \cdot \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)$ 的实部为 $24\cos\theta + 36\sin\theta$ 。

总实部为 $324\cos\theta - 432\sin\theta$ ，它关于 $\theta$ 的最大值是 $\begin{aligned} &\sqrt{324^2 + 432^2} \\ &= 108\sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 108 \cdot 5 = 540 \end{aligned}\text{。}$

Write $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta),$ so $\frac{1}{z} = \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta).$ The real part of $(75 + 117\mathrm{i})z$ is $4(75\cos\theta - 117\sin\theta)$ $= 300\cos\theta - 468\sin\theta,$ and the real part of $(96 + 144\mathrm{i}) \cdot \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)$ is $24\cos\theta + 36\sin\theta.$

The total real part is $324\cos\theta - 432\sin\theta,$ whose maximum over $\theta$ is $\begin{aligned} &\sqrt{324^2 + 432^2} \\ &= 108\sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 108 \cdot 5 = 540. \end{aligned}$

2024 AIME I 第 7 题

答案：540

难度评级：2410

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