Question

面 $ABC$ 和面 $BCD$ 属于四面体 $ABCD$ ，二者的二面角为 $30^\circ$ 。面 $ABC$ 的面积为 $120$ ，面 $BCD$ 的面积为 $80$ ，且 $BC=10$ 。求该四面体的体积。

Faces $ABC$ and $BCD$ of tetrahedron $ABCD$ meet at an angle of $30^\circ.$ The area of face $ABC$ is $120,$ the area of face $BCD$ is $80,$ and $BC=10.$ Find the volume of the tetrahedron.

答案

答案：320

知识点：立体几何三角学体积

难度评级：2040

小提示：

求两个面中从 $A$ 和 $D$ 到公共棱 $BC$ 的高

Find the altitudes from $A$ and $D$ to the common edge $BC$

大提示：

从 $D$ 到平面 $ABC$ 的高，等于该点所在面内的高乘以 $\sin30^\circ$

The height from $D$ to plane $ABC$ is its face altitude multiplied by $\sin30^\circ$

解答：

以 $BC$ 为底边，面 $ABC$ 和面 $BCD$ 中对应的高分别为 $\frac{2(120)}{10}=24$ 和 $\frac{2(80)}{10}=16$ 。由于二面角为 $30^\circ$ ，从 $D$ 到平面 $ABC$ 的垂直高度为 $16\sin30^\circ=8$ 。以面 $ABC$ 为底面，体积为 $\frac13(120)(8)=320\text{。}$

The altitudes to $BC$ in faces $ABC$ and $BCD$ are $\frac{2(120)}{10}=24$ and $\frac{2(80)}{10}=16,$ respectively. Because the dihedral angle is $30^\circ,$ the perpendicular height from $D$ to plane $ABC$ is $16\sin30^\circ=8.$ Using face $ABC$ as the base, the volume is $\frac13(120)(8)=320.$

1992 AIME 第 7 题

答案：320

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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