Question

令 $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right) \end{aligned}\text{。}$ 求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。（这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数， $\lceil x \rceil$ 表示大于或等于 $x$ 的最小整数。）

Let $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right). \end{aligned}$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$ (Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x,$ and $\lceil x \rceil$ denotes the least integer that is greater than or equal to $x.$ )

答案

答案：477

知识点：取整函数对数 2的幂求和

难度评级：2410

小提示：

$\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ 等于 $1$ ，除非 $x$ 是整数；此时它等于 $0$

$\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ equals $1$ unless $x$ is an integer, when it equals $0$

大提示：

对整数 $k$ ， $\log_{\sqrt{2}} k$ 是整数当且仅当 $k$ 是 $2$ 的幂，所以要从所有整数的和中减去 $2$ 的幂；这里所有整数的和是 $1 + 2 + \cdots + 1000$

For integers $k,$ $\log_{\sqrt{2}} k$ is an integer exactly when $k$ is a power of $2,$ so subtract the powers of $2$ from $1 + 2 + \cdots + 1000$

解答：

差 $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ 在参数不是整数时等于 $1$ ，而当 $x$ 是整数时等于 $0$ 。现在， $\log_{\sqrt{2}} k$ 是整数当且仅当 $k = (\sqrt{2})^j$ ，其中 $j$ 为某个整数；要使 $k$ 为整数， $j$ 必须为偶数，也就是说 $k$ 必须是 $2$ 的幂。不超过 $1000$ 的这些幂为 $2^0, 2^1, \ldots, 2^9 = 512$ 。

因此 $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k - \sum_{j=0}^{9} 2^j \\ &= \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 \\ &= 500500 - 1023 = 499477 \end{aligned}\text{，}$ 除以 $1000$ 的余数为 $477$ 。

The difference $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ equals $1$ when $x$ is not an integer and $0$ when it is. Now $\log_{\sqrt{2}} k$ is an integer exactly when $k = (\sqrt{2})^j$ for some integer $j,$ and for $k$ to be an integer, $j$ must be even — that is, $k$ must be a power of $2.$ The powers at most $1000$ are $2^0, 2^1, \ldots, 2^9 = 512.$

Therefore $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k - \sum_{j=0}^{9} 2^j \\ &= \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 \\ &= 500500 - 1023 = 499477, \end{aligned}$ and the remainder upon division by $1000$ is $477.$

2007 AIME I 第 7 题

答案：477

难度评级：2410

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解答：

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