Question

已知三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 的外接圆半径分别为 $12.5$ 和 $25$ ，求菱形 $ABCD$ 的面积。

Find the area of rhombus $ABCD$ given that the radii of the circles circumscribed around triangles $ABD$ and $ACD$ are $12.5$ and $25,$ respectively.

答案

答案：400

知识点：菱形正弦定理外接圆、外心与外接圆半径

难度评级：2560

小提示：

设边长为 $s$ 且 $\alpha = \angle BAC$ 。两条对角线的长度为 $2s\cos\alpha$ 和 $2s\sin\alpha$

Let $s$ be the side and $\alpha = \angle BAC.$ The diagonals have lengths $2s\cos\alpha$ and $2s\sin\alpha$

大提示：

在三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 中使用扩展正弦定理，得到 $R_1 = \frac{s}{2\cos\alpha}$ 和 $R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}$ ，因而 $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2}$

The extended law of sines in triangles $ABD$ and $ACD$ gives $R_1 = \frac{s}{2\cos\alpha}$ and $R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha},$ so $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2}$

解答：

设边长为 $s$ 且 $\alpha = \angle BAC$ （对角线 $AC$ 平分角 $A$ ）。于是两条对角线的长度为 $AC = 2s\cos\alpha$ 和 $BD = 2s\sin\alpha$ 。在三角形 $ABD$ 中，边 $BD$ 对着角 $\angle BAD = 2\alpha$ ，所以扩展正弦定理给出 $\begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha} \end{aligned}\text{。}$ 在三角形 $ACD$ 中，边 $AC$ 对着 $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha$ ，同理 $25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}$ 。

两式相除， $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ ，因此 $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 且 $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 。于是 $s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}$ 。

面积为两条对角线乘积的一半： $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400 \end{aligned}\text{。}$

Let $s$ be the side length and $\alpha = \angle BAC$ (the diagonal $AC$ bisects angle $A$ ). The diagonals then have lengths $AC = 2s\cos\alpha$ and $BD = 2s\sin\alpha.$ In triangle $ABD,$ side $BD$ subtends the angle $\angle BAD = 2\alpha,$ so the extended law of sines gives $\begin{aligned} 12.5 = R_1 &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2s\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{s}{2\cos\alpha}. \end{aligned}$ In triangle $ACD,$ side $AC$ subtends $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha,$ so similarly $25 = R_2 = \frac{s}{2\sin\alpha}.$

Dividing, $\tan\alpha = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2},$ so $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ and $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.$ Then $s = 2R_2\sin\alpha = \frac{50}{\sqrt{5}} = 10\sqrt{5}.$

The area is half the product of the diagonals: $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot 2s\cos\alpha \cdot 2s\sin\alpha \\ &= 2s^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot 500 \cdot \frac{2}{5} = 400. \end{aligned}$

2003 AIME II 第 7 题

答案：400

难度评级：2560

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