Question

已知 $(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54\text{，}$ 并且 $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k\end{aligned}\text{，}$ 其中 $k$ 、 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $m$ 与 $n$ 互质。求 $k+m+n$ 。

Given that $(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54$ and $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}$ where $k,$ $m,$ and $n$ are positive integers with $m$ and $n$ relatively prime, find $k+m+n.$

答案

答案：27

知识点：三角恒等式对称性（代数）根式

难度评级：1900

小提示：

令 $u=\sin t+\cos t$ ，并将 $\sin t\cos t$ 用 $u$ 表示

Set $u=\sin t+\cos t$ and express $\sin t\cos t$ in terms of $u$

大提示：

两个给定的乘积都可写成关于 $u$ 的一个完全平方的一半

Both given products become half of a perfect square in $u$

解答：

令 $u=\sin t+\cos t$ 。由于 $\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2}$ ， $\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54\end{aligned}\text{。}$ 符合条件的符号选择给出 $u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ 。因此 $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}\end{aligned}\text{。}$ 所以 $k+m+n=10+13+4=27$ 。

Let $u=\sin t+\cos t.$ Since $\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2},$ $\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54.\end{aligned}$ The feasible sign gives $u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}.$ Therefore $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}.\end{aligned}$ Thus $k+m+n=10+13+4=27.$

1995 AIME 第 7 题

答案：27

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

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