Question

设正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 满足 $a^5=b^4$ 、 $c^3=d^2$ ，且 $c-a=19$ 。求 $d-b$ 。

Assume that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ and $c-a=19.$ Determine $d-b.$

答案

答案：757

知识点：完全幂平方差丢番图方程

难度评级：2340

小提示：

参数化方程 $a^5=b^4$ 和 $c^3=d^2$ 的解

Parametrize the solutions of $a^5=b^4$ and $c^3=d^2$

大提示：

将所得差 $s^2-t^4$ 分解因式

Factor the resulting difference $s^2-t^4$

解答：

比较各质因数的指数，可取正整数 $s$ 、 $t$ ，使 $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}\text{。}$ 于是 $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19\text{。}$ 由于 $19$ 是质数，这两个因数分别为 $1$ 和 $19$ ，因而 $s=10$ ，且 $t^2=9$ 。所以 $t=3$ ，并且 $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757 \end{aligned}\text{。}$

Comparing prime exponents, write $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}$ for positive integers $s,$ $t.$ Then $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.$ Since $19$ is prime, the factors are $1$ and $19,$ giving $s=10$ and $t^2=9.$ Thus $t=3,$ and $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}$

1985 AIME 第 7 题

答案：757

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题