Question

下列七个数的和恰为 $19$ ： $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86 \end{aligned}\text{。}$ 现要将每个 $a_i$ 替换为整数近似值 $A_i$ ，其中 $1\leq i\leq7$ ，使各 $A_i$ 之和也为 $19$ ，并使“误差” $|A_i-a_i|$ 的最大值 $M$ 尽可能小。对于这个最小的 $M$ ，求 $100M$ 。

The sum of the following seven numbers is exactly $19:$ $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}$ It is desired to replace each $a_i$ by an integer approximation $A_i,$ $1\leq i\leq7,$ so that the sum of the $A_i$ ’s is also $19$ and so that $M,$ the maximum of the “errors” $|A_i-a_i|,$ is as small as possible. For this minimum $M,$ what is $100M?$

答案

答案：61

知识点：估算最优化极端原理

难度评级：2160

小提示：

从七个 $3$ 出发，整数和必须减少 $2$

Starting from seven $3$ ’s, the integer sum must be reduced by $2$

大提示：

为使最大误差最小，将最小的两个 $a_i$ 向下取整为 $2$

To minimize the worst error, round the two smallest $a_i$ ’s down to $2$

解答：

取 $A_1=A_2=2$ ，且 $A_3=\cdots=A_7=3$ 。它们的和为 $19$ ，最大误差为 $|A_2-a_2|=0.61$ 。

若 $M\lt0.61$ ，则 $A_2,\ldots,A_7$ 必须都等于 $3$ ，而 $A_1$ 只能为 $2$ 或 $3$ 。因而它们的和至少为 $20$ ，矛盾。所以最小值为 $M=0.61$ ，且 $100M=61$ 。

Choose $A_1=A_2=2$ and $A_3=\cdots=A_7=3.$ The sum is $19,$ and the largest error is $|A_2-a_2|=0.61.$

If $M\lt0.61,$ then $A_2,\ldots,A_7$ must all equal $3,$ and $A_1$ can only be $2$ or $3.$ Their sum would therefore be at least $20,$ a contradiction. Thus the minimum is $M=0.61,$ and $100M=61.$

1985 AIME 第 8 题

答案：61

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题