Question

在 $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ 中，有多少对连续整数在相加时不需要进位？

For how many pairs of consecutive integers in $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ is no carrying required when the two integers are added?

答案

答案：156

知识点：数字分类讨论整数运算

难度评级：1780

小提示：

将较小的整数写成 $1abc$ ，并按末尾连续出现的数字 $9$ 的个数分类

Write the smaller integer as $1abc$ and separate cases by the number of trailing $9$ s

大提示：

未发生变化的数位至多为 $4$ ，而增加了 $1$ 的数位相加时也不能产生进位

A digit that is unchanged must be at most $4$ , and the digit increased by $1$ must also pair without a carry

解答：

将较小的数写成 $1abc$ 。若 $c\neq9$ ，则 $c\leq4$ ，且未变化的数位 $a$ 、 $b$ 都至多为 $4$ ，共有 $5^3=125$ 对。若 $c=9$ 但 $b\neq9$ ，则 $a\leq4$ 、 $b\leq4$ ，共有 $25$ 对。若 $b=c=9$ 但 $a\neq9$ ，则共有 $5$ 种 $a$ 的选择。最后， $1999+2000$ 也不需要进位。因此总数为 $125+25+5+1=156$ 。

Write the smaller number as $1abc.$ If $c\neq9,$ then $c\leq4$ and the unchanged digits $a$ and $b$ are each at most $4,$ giving $5^3=125$ pairs. If $c=9$ but $b\neq9,$ then $a\leq4$ and $b\leq4,$ giving $25$ pairs. If $b=c=9$ but $a\neq9,$ there are $5$ choices for $a.$ Finally, $1999+2000$ also needs no carry. The total is $125+25+5+1=156.$

1992 AIME 第 6 题

答案：156

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题