Question

满足方程 $\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x$ 的所有正实数 $x$ 的乘积是一个整数 $P$ 。求 $P$ 的正整数因数个数。

The product of all positive real numbers $x$ satisfying the equation $\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x$ is an integer $P.$ Find the number of positive integer divisors of $P.$

答案

答案：441

知识点：对数二次方程韦达定理因数个数

难度评级：2300

小提示：

令 $t = \log_{2026} x$ ，并对两边取 $\log_{2026}$ ，得到关于 $t$ 的二次方程

Set $t = \log_{2026} x$ and take $\log_{2026}$ of both sides to get a quadratic in $t$

大提示：

两个根满足 $t_1 + t_2 = 20$ ，所以解 $x$ 的乘积就是 $2026$ 的这个次方；分解 $2026$

The two roots satisfy $t_1 + t_2 = 20,$ so the product of the solutions $x$ is $2026$ raised to that power; factor $2026$

解答：

令 $t = \log_{2026} x$ 。对两边取 $\log_{2026}$ ，原方程也就是 $x^{\frac{\log_{2026} x}{20}} = 26x$ ，于是 $\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t\text{，}$ 即 $t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0\text{。}$ 判别式 $400 + 80\log_{2026} 26$ 为正，所以有两个实根 $t_1, t_2$ ，每个都给出一个有效正解 $x = 2026^{t}$ 。

由 Vieta 公式， $t_1 + t_2 = 20$ ，所以这些解的乘积为 $2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}$ 。由于 $2026 = 2 \cdot 1013$ ，且 $1013$ 为质数， $P = 2^{20} \cdot 1013^{20}$ 有 $21 \cdot 21 = 441$ 个正因数。

Let $t = \log_{2026} x.$ Taking $\log_{2026}$ of both sides of $x^{\frac{\log_{2026} x}{20}} = 26x$ gives $\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t,$ that is $t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0.$ The discriminant $400 + 80\log_{2026} 26$ is positive, so there are two real roots $t_1, t_2,$ each giving a valid positive solution $x = 2026^{t}.$

By Vieta’s formulas $t_1 + t_2 = 20,$ so the product of the solutions is $2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}.$ Since $2026 = 2 \cdot 1013$ and $1013$ is prime, $P = 2^{20} \cdot 1013^{20}$ has $21 \cdot 21 = 441$ positive divisors.

2026 AIME I 第 6 题

答案：441

难度评级：2300

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