Question

设 $z = a + b\mathrm{i}$ 是满足 $|z| = 5$ 且 $b \gt 0$ 的复数，并且使 $(1 + 2\mathrm{i})z^3$ 与 $z^5$ 之间的距离达到最大。又设 $z^4 = c + d\mathrm{i}$ 。求 $c + d$ 。

Let $z = a + b\mathrm{i}$ be the complex number with $|z| = 5$ and $b \gt 0$ such that the distance between $(1 + 2\mathrm{i})z^3$ and $z^5$ is maximized, and let $z^4 = c + d\mathrm{i}.$ Find $c + d.$

答案

答案：125

知识点：复数最优化

难度评级：2510

小提示：

将距离分解为 $|z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|$ ，所以需要在半径为 $25$ 的圆上找离 $1 + 2\mathrm{i}$ 最远的点 $z^2$ 。

Factor the distance as $|z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|,$ so you need the point $z^2$ on the circle of radius $25$ farthest from $1 + 2\mathrm{i}$

大提示：

最远点在完全相反的方向上： $z^2 = -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i})$ ；然后再平方一次。

The farthest point lies in exactly the opposite direction: $z^2 = -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i});$ now square once more

解答：

距离为 $|(1 + 2\mathrm{i})z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|$ $= 125\,|1 + 2\mathrm{i} - z^2|$ 。当 $z$ 在圆 $|z| = 5$ 上且 $b \gt 0$ 时， $z^2$ 可以取到圆 $|w| = 25$ 上的每一个点（条件 $b \gt 0$ 只是从两个平方根中选一个）。该圆上离 $1 + 2\mathrm{i}$ 最远的点在直径相对方向： $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2\mathrm{i}}{|1 + 2\mathrm{i}|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i}) \end{aligned}\text{。}$

平方得 $z^4 = 125\,(1 + 2\mathrm{i})^2$ $= 125\,(-3 + 4\mathrm{i})$ $= -375 + 500\mathrm{i}$ ，所以 $c + d = -375 + 500 = 125$ 。

The distance is $|(1 + 2\mathrm{i})z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2\mathrm{i} - z^2|$ $= 125\,|1 + 2\mathrm{i} - z^2|.$ As $z$ runs over the circle $|z| = 5$ with $b \gt 0,$ the square $z^2$ attains every point of the circle $|w| = 25$ (the condition $b \gt 0$ merely selects one of the two square roots). The point of that circle farthest from $1 + 2\mathrm{i}$ is diametrically opposite in direction: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2\mathrm{i}}{|1 + 2\mathrm{i}|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2\mathrm{i}). \end{aligned}$

Squaring, $z^4 = 125\,(1 + 2\mathrm{i})^2$ $= 125\,(-3 + 4\mathrm{i})$ $= -375 + 500\mathrm{i},$ so $c + d = -375 + 500 = 125.$

2012 AIME II 第 6 题

答案：125

难度评级：2510

小提示：

大提示：

解答：

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