Question

复数 $z$ 和 $w$ 满足 $z^{13} = w$ 、 $w^{11} = z$ ，且 $z$ 的虚部为 $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数，并且 $m \lt n$ 。求 $n$ 。

The complex numbers $z$ and $w$ satisfy $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ and the imaginary part of $z$ is $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ for relatively prime positive integers $m$ and $n$ with $m \lt n.$ Find $n.$

答案

答案：71

知识点：单位根复数

难度评级：2300

小提示：

将一个方程代入另一个方程，得到 $z^{143} = z$ ，所以 $z$ 是 $142$ 次单位根

Substituting one equation into the other gives $z^{143} = z,$ so $z$ is a $142$ nd root of unity

大提示：

写成 $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ ，再把角度中的分数约到最简

Write $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ and reduce the fraction in the angle to lowest terms

解答：

因为 $0 \lt m \lt n$ ，题目所给的虚部为正，所以 $z \ne 0$ 。代入得 $z = w^{11} = (z^{13})^{11} = z^{143}$ ，因此 $z^{142} = 1$ 。反过来，任何 $142$ 次单位根 $z$ 与 $w = z^{13}$ 都满足条件，因为 $w^{11} = z^{143} = z$ 。

因此 $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ ，其中 $k$ 为整数； $z$ 的虚部为 $\sin\frac{k\pi}{71}$ 。题目所给的正弦值为正，所以可取 $1 \le k \le 70$ 。由于 $71$ 是素数， $\frac{k}{71}$ 已是最简形式，符合 $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ 且 $m \lt n$ 的要求。因此 $n = 71$ 。

Because $0 \lt m \lt n,$ the specified imaginary part is positive, so $z \ne 0.$ Substituting, $z = w^{11} = (z^{13})^{11} = z^{143},$ and hence $z^{142} = 1.$ Conversely, any $142$ nd root of unity $z$ works with $w = z^{13},$ since then $w^{11} = z^{143} = z.$

Hence $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ for some integer $k,$ and the imaginary part of $z$ is $\sin\frac{k\pi}{71}.$ The sine specified in the problem is positive, so we may take $1 \le k \le 70.$ Since $71$ is prime, $\frac{k}{71}$ is already in lowest terms, matching the required form $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ with $m \lt n.$ Thus $n = 71.$

2012 AIME I 第 6 题

答案：71

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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