Question

在凸四边形 $KLMN$ 中，边 $\overline{MN}$ 垂直于对角线 $\overline{KM}$ ，边 $\overline{KL}$ 垂直于对角线 $\overline{LN}$ ，且 $MN = 65$ 、 $KL = 28$ 。过 $L$ 作垂直于边 $\overline{KN}$ 的直线，与对角线 $\overline{KM}$ 交于 $O$ ，且 $KO = 8$ 。求 $MO$ 。

In convex quadrilateral $KLMN,$ side $\overline{MN}$ is perpendicular to diagonal $\overline{KM},$ side $\overline{KL}$ is perpendicular to diagonal $\overline{LN},$ $MN = 65,$ and $KL = 28.$ The line through $L$ perpendicular to side $\overline{KN}$ intersects diagonal $\overline{KM}$ at $O$ with $KO = 8.$ Find $MO.$

答案

答案：90

知识点：相似直角三角形高线

难度评级：2600

小提示：

设 $F$ 为从 $L$ 到 $\overline{KN}$ 的垂足；在直角三角形 $KLN$ 中，高给出 $KF \cdot KN = KL^2$

Let $F$ be the foot of the perpendicular from $L$ to $\overline{KN};$ in right triangle $KLN$ the altitude gives $KF \cdot KN = KL^2$

大提示：

三角形 $KFO$ 与 $KMN$ 共有角 $K$ ，且各有一个直角，所以 $KF \cdot KN = KO \cdot KM$

Triangles $KFO$ and $KMN$ share angle $K$ and each has a right angle, so $KF \cdot KN = KO \cdot KM$

解答：

设 $F$ 为从 $L$ 到 $\overline{KN}$ 的垂足，因此 $O$ 在 $LF$ 上。在直角三角形 $KLN$ （直角在 $L$ ）中，斜边上的高 $LF$ 给出几何平均关系 $KF \cdot KN = KL^2 = 28^2 = 784$ 。

三角形 $KFO$ 与 $KMN$ 共有角 $K$ ，且 $\angle KFO = 90^\circ = \angle KMN$ ，所以它们相似。因此 $\frac{KF}{KM} = \frac{KO}{KN}$ ，也就是 $KO \cdot KM = KF \cdot KN = 784$ 。由 $KO = 8$ 得 $KM = 98$ ，所以 $\begin{aligned} MO &= KM - KO \\ &= 98 - 8 = 90 \end{aligned}\text{。}$

Let $F$ be the foot of the perpendicular from $L$ to $\overline{KN},$ so $O$ lies on segment $LF.$ In right triangle $KLN$ (right angle at $L$ ), the altitude $LF$ to the hypotenuse gives the geometric mean relation $KF \cdot KN = KL^2 = 28^2 = 784.$

Triangles $KFO$ and $KMN$ share angle $K,$ and $\angle KFO = 90^\circ = \angle KMN,$ so they are similar. Hence $\frac{KF}{KM} = \frac{KO}{KN},$ that is, $KO \cdot KM = KF \cdot KN = 784.$ With $KO = 8$ this gives $KM = 98,$ so $\begin{aligned} MO &= KM - KO \\ &= 98 - 8 = 90. \end{aligned}$

2019 AIME I 第 6 题

答案：90

难度评级：2600

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