Question

求与下式最接近的整数： $1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4}$

Find the integer that is closest to $1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4}.$

答案

答案：521

知识点：裂项相消部分分式估算

难度评级：2340

小提示：

分解 $n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$ ，并用部分分式让求和裂项相消。

Factor $n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$ and use partial fractions to make the sum telescope

大提示：

前端只剩下 $1$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，再减去四个接近 $\frac{1}{10000}$ 的小尾项。

Only $1,$ $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{4}$ survive at the front, minus four tiny tail terms near $\frac{1}{10000}$

解答：

因为 $\frac{1}{n^2 - 4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right)$ ，所以该和裂项相消： $\begin{aligned} &1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4} \\ &\tiny{}= 250\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right) \end{aligned}\text{。}$

令 $r$ 等于 $250$ 乘以四个正尾项之和。于是 $0 \lt r \lt 250 \cdot \frac{4}{9999} \lt \frac{1}{3}$ 。原式的值为 $520 + \frac{5}{6} - r$ ，所以它严格介于 $520 + \frac{1}{2}$ 与 $520 + \frac{5}{6}$ 之间。因此最接近的整数是 $521$ 。

Since $\frac{1}{n^2 - 4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right),$ the sum telescopes: $\begin{aligned} &1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4} \\ &\tiny{}= 250\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right). \end{aligned}$

Let $r$ be $250$ times the sum of the four positive tail fractions. Then $0 \lt r \lt 250 \cdot \frac{4}{9999} \lt \frac{1}{3}.$ The value of the expression is $520 + \frac{5}{6} - r,$ so it lies strictly between $520 + \frac{1}{2}$ and $520 + \frac{5}{6}.$ Hence the closest integer is $521.$

2002 AIME II 第 6 题

答案：521

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题