Question

求所有正整数 $a = 2^n 3^m$ 的和，其中 $n$ 和 $m$ 是非负整数，并且 $a^6$ 不是 $6^a$ 的因数。

Find the sum of all positive integers $a = 2^n 3^m,$ where $n$ and $m$ are non-negative integers, for which $a^6$ is not a divisor of $6^a.$

答案

答案：42

知识点：整除性质因数分解分类讨论

难度评级：2430

小提示：

$\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}}$ ，所以 $a^6$ 不能整除 $6^a$ 当且仅当 $6n \gt a$ 或 $6m \gt a$ 。

$\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ so $a^6$ fails to divide $6^a$ exactly when $6n \gt a$ or $6m \gt a$

大提示：

如果 $m$ 和 $n$ 都至少为 $1$ ，则 $a \ge 6n$ 且 $a \ge 6m$ ，所以只有纯 $2$ 的幂或纯 $3$ 的幂可能满足条件。

If $m$ and $n$ are both at least $1,$ then $a \ge 6n$ and $a \ge 6m,$ so only pure powers of $2$ or of $3$ can work

解答：

对 $a = 2^n 3^m$ ， $\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}}\text{，}$ 它不是整数当且仅当 $6n \gt a$ 或 $6m \gt a$ 。

若 $m, n \ge 1$ ，则 $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ （因为 $2^n \ge 2n$ ），类似地 $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m$ ，所以这种情形没有可行的 $a$ 。若 $m = 0$ ，条件为 $2^n \lt 6n$ ，成立于 $n = 1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ，给出 $a = 2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ 。若 $n = 0$ ，条件为 $3^m \lt 6m$ ，成立于 $m = 1$ 、 $2$ ，给出 $a = 3$ 、 $9$ 。（当 $a = 1$ 时条件不成立。）

所求和为 $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42$ 。

With $a = 2^n 3^m,$ $\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ which fails to be an integer exactly when $6n \gt a$ or $6m \gt a.$

If $m, n \ge 1,$ then $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ (since $2^n \ge 2n$ ) and similarly $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m,$ so no such $a$ works. If $m = 0,$ the condition is $2^n \lt 6n,$ which holds for $n = 1,$ $2,$ $3,$ $4,$ giving $a = 2,$ $4,$ $8,$ $16.$ If $n = 0,$ the condition is $3^m \lt 6m,$ which holds for $m = 1,$ $2,$ giving $a = 3,$ $9.$ (For $a = 1$ the condition fails.)

The sum is $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.$

2002 AIME II 第 5 题

答案：42

难度评级：2430

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解答：

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