Question

设 $P$ 是正方形 $ABCD$ 的外接圆上的一点，且满足 $PA \cdot PC = 56$ 与 $PB \cdot PD = 90$ 。求 $ABCD$ 的面积。

Let $P$ be a point on the circle circumscribing square $ABCD$ that satisfies $PA \cdot PC = 56$ and $PB \cdot PD = 90.$ Find the area of $ABCD.$

答案

答案：106

知识点：圆坐标几何三角恒等式

难度评级：2400

小提示：

把圆心放在原点，令 $A = (R, 0)$ 、 $B = (0, R)$ 、 $C = (-R, 0)$ 、 $D = (0, -R)$ ，并设 $P = (R\cos\theta, R\sin\theta)$ 。

Put the center at the origin with $A = (R, 0),$ $B = (0, R),$ $C = (-R, 0),$ $D = (0, -R),$ and $P = (R\cos\theta, R\sin\theta).$

大提示：

证明 $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta|$ ，且 $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta|$ ；一个勾股恒等式会把两个乘积联系起来。

Show $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta|$ and $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta|;$ a Pythagorean identity links the two products.

解答：

设圆心为 $O$ 、半径为 $R$ ，并取 $A = (R, 0)$ 、 $B = (0, R)$ 、 $C = (-R, 0)$ 、 $D = (0, -R)$ ，以及 $P = (R\cos\theta, R\sin\theta)$ 。则 $PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)$ ， $PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta)$ ，所以 $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56$ 。同理， $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90$ 。

两式平方后相加，得 $4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236$ ，所以 $2R^2 = \sqrt{11236} = 106$ 。正方形的对角线为 $2R$ ，因此面积为 $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106$ 。

Let the circle have center $O$ and radius $R,$ with $A = (R, 0),$ $B = (0, R),$ $C = (-R, 0),$ $D = (0, -R),$ and $P = (R\cos\theta, R\sin\theta).$ Then $PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)$ and $PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta),$ so $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56.$ In the same way $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90.$

Squaring and adding, $4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236,$ so $2R^2 = \sqrt{11236} = 106.$ The square has diagonal $2R,$ hence area $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106.$

2023 AIME I 第 5 题

答案：106

难度评级：2400

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