Question

将某枚不均匀的硬币抛掷五次，恰好出现一次正面的概率不为 $0$ ，且与恰好出现两次正面的概率相同。设 $5$ 次抛掷中恰好 $3$ 次出现正面的概率化为最简分数后是 $\frac{i}{j}$ 。求 $i+j$ 。

When a certain biased coin is flipped five times, the probability of getting heads exactly once is not equal to $0$ and is the same as that of getting heads exactly twice. Let $\frac{i}{j},$ in lowest terms, be the probability that the coin comes up heads in exactly $3$ out of $5$ flips. Find $i+j.$

答案

答案：283

知识点：二项概率分数一次方程

难度评级：2110

小提示：

设出现正面的概率为 $p$ ，令题中的两个二项概率相等

Let $p$ be the probability of heads and equate the two binomial probabilities

大提示：

先约去非零公因式，再求 $p$

Cancel the nonzero common factors before solving for $p$

解答：

设出现正面的概率为 $p$ 。由条件可得 $5p(1-p)^4=10p^2(1-p)^3\text{。}$ 题目所给的非零条件允许约分，得到 $1-p=2p$ ，所以 $p=\frac{1}{3}$ 。恰好出现三次正面的概率为 $\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{243}\text{。}$ 因此 $i+j=40+243=283$ 。

Let $p$ be the probability of heads. The condition gives $5p(1-p)^4=10p^2(1-p)^3.$ The stated nonzero condition permits cancellation, yielding $1-p=2p,$ so $p=\frac{1}{3}.$ The probability of exactly three heads is $\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{243}.$ Therefore $i+j=40+243=283.$

1989 AIME 第 5 题

答案：283

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题