Question

设两个复数 $x$ 和 $y$ 的平方和为 $7$ ，立方和为 $10$ 。 $x+y$ 能取得的最大实数值是多少？

Suppose that the sum of the squares of two complex numbers $x$ and $y$ is $7$ and the sum of the cubes is $10.$ What is the largest real value that $x+y$ can have?

答案

答案：4

知识点：复数对称性（代数）因式分解

难度评级：2390

小提示：

令 $s=x+y$ 、 $p=xy$

Let $s=x+y$ and $p=xy$

大提示：

利用 $x^2+y^2=s^2-2p$ 消去 $p$ ，并代入 $x^3+y^3=s^3-3ps$

Use $x^2+y^2=s^2-2p$ to eliminate $p$ from $x^3+y^3=s^3-3ps$

解答：

令 $s=x+y$ 、 $p=xy$ 。由 $x^2+y^2=s^2-2p=7$ 可得 $p=\frac{s^2-7}{2}$ 。此外， $\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0 \end{aligned}\text{。}$ 每个根都对应于二次方程 $t^2-st+p=0$ 的一对可能复根，所以 $s=x+y$ 能取得的最大实数值为 $4$ 。

Let $s=x+y$ and $p=xy.$ From $x^2+y^2=s^2-2p=7,$ we get $p=\frac{s^2-7}{2}.$ Also, $\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}$ Hence $\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}$ Each root gives a possible pair of complex roots of $t^2-st+p=0,$ so the largest real possible value of $s=x+y$ is $4.$

1983 AIME 第 5 题

答案：4

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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