Question

求 $ab$ 的值，其中 $\log_8a+\log_4b^2=5$ ，且 $\log_8b+\log_4a^2=7$ 。

Determine the value of $ab$ if $\log_8a+\log_4b^2=5$ and $\log_8b+\log_4a^2=7.$

答案

答案：512

知识点：对数方程组

难度评级：1960

小提示：

将所有对数都改写为以 $2$ 为底

Express every logarithm using base $2$

大提示：

令 $A=\log_2a$ ， $B=\log_2b$ ，得到一个线性方程组

Set $A=\log_2a$ and $B=\log_2b$ to obtain a linear system

解答：

令 $A=\log_2a$ ， $B=\log_2b$ 。两个方程变为 $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7\text{。}$ 等价地， $A+3B=15$ ，且 $3A+B=21$ ，解得 $A=6$ ， $B=3$ 。因此 $ab=2^{A+B}=2^9=512$ 。

Let $A=\log_2a$ and $B=\log_2b.$ The two equations become $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.$ Equivalently, $A+3B=15$ and $3A+B=21,$ which give $A=6$ and $B=3.$ Therefore $ab=2^{A+B}=2^9=512.$

1984 AIME 第 5 题

答案：512

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题