Question

对一个有理数，将它写成最简分数，并计算所得分子与分母的乘积。在 $0$ 与 $1$ 之间，有多少个有理数会使所得乘积为 $20!$ ？

Given a rational number, write it as a fraction in lowest terms and calculate the product of the resulting numerator and denominator. For how many rational numbers between $0$ and $1$ will $20!$ be the resulting product?

答案

答案：128

知识点：质因数分解最大公约数子集

难度评级：2250

小提示：

若 $\frac{a}{b}$ 是最简分数且 $ab=20!$ ，则 $20!$ 中每个质因数的完整幂次必须全部分配给 $a$ 或 $b$ 中的一个。

If $\frac{a}{b}$ is in lowest terms and $ab=20!$ , each full prime power of $20!$ must go entirely to one of $a$ or $b$

大提示：

先数不同质数幂因子的有序分配方法，再利用条件 $a<b$ 。

Count ordered allocations of the distinct prime-power factors, then use the condition $a<b$

解答：

能整除 $20!$ 的不同质数为 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $11$ 、 $13$ 、 $17$ 和 $19$ 。若 $\frac{a}{b}$ 是最简分数且 $ab=20!$ ，则这八个质数中每一个的完整幂次都必须分配给 $a$ 或 $b$ 中的一个。因此， $ab=20!$ 有 $2^8$ 个有序的互质分解。由于 $a\neq b$ ，其中恰有一半满足 $0<\frac{a}{b}<1$ 。所求数目为 $2^7=128$ 。

The distinct primes dividing $20!$ are $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ and $19.$ If $\frac{a}{b}$ is in lowest terms and $ab=20!,$ the entire power of each of these eight primes must be assigned to either $a$ or $b.$ Thus there are $2^8$ ordered coprime factorizations $ab=20!.$ Since $a\neq b,$ exactly half have $0<\frac{a}{b}<1.$ The number sought is $2^7=128.$

1991 AIME 第 5 题

答案：128

难度评级：2250

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题