Question

从 $10^{99}$ 的正因数中随机选择一个，它是 $10^{88}$ 的整数倍的概率写成最简分数 $\frac{m}{n}$ 。求 $m+n$ 。

Let $\frac{m}{n},$ in lowest terms, be the probability that a randomly chosen positive divisor of $10^{99}$ is an integer multiple of $10^{88}.$ Find $m+n.$

答案

答案：634

知识点：因数个数基本概率质因数分解

难度评级：1770

小提示：

将每个因数写成 $2^a5^b$

Write every divisor as $2^a5^b$

大提示：

计算满足 $a\geq88$ 且 $b\geq88$ 的指数对数目，并约分所得概率

Count exponent pairs with $a\geq88$ and $b\geq88$ and reduce the resulting probability

解答：

每个因数都形如 $2^a5^b$ ，其中 $0\leq a\leq99$ 且 $0\leq b\leq99$ ，所以共有 $100^2=10000$ 个因数。若它是 $10^{88}$ 的倍数，则必须有 $88\leq a\leq99$ 且 $88\leq b\leq99$ ，共有 $12^2=144$ 个因数。概率为 $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625}$ ，所以 $m+n=9+625=634$ 。

Every divisor is $2^a5^b$ with $0\leq a\leq99$ and $0\leq b\leq99,$ so there are $100^2=10000$ divisors. A multiple of $10^{88}$ requires $88\leq a\leq99$ and $88\leq b\leq99,$ giving $12^2=144$ divisors. The probability is $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},$ and $m+n=9+625=634.$

1988 AIME 第 5 题

答案：634

难度评级：1770

小提示：

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解答：

其他年份的第 5 题