Question

设 $n$ 是既为 $75$ 的倍数又恰有 $75$ 个正整数因数（包括 $1$ 和它本身）的最小正整数。求 $\frac{n}{75}$ 。

Let $n$ be the smallest positive integer that is a multiple of $75$ and has exactly $75$ positive integral divisors, including $1$ and itself. Find $\frac{n}{75}.$

答案

答案：432

知识点：因数个数质因数分解最优化

难度评级：2100

小提示：

将 $75$ 分解为若干可能的乘积，其中每个因数都比相应的质因数指数大一

Factor $75$ into possible products of numbers one greater than prime exponents

大提示：

指数模式 $(4,4,2)$ 可以包含所需的因数 $3$ 和 $5^2$ ，并把最大的指数分配给最小的质数

The exponent pattern $(4,4,2)$ can include the required factors $3$ and $5^2$ while assigning the largest exponents to the smallest primes

解答：

$75$ 的乘法分拆给出指数模式 $(74)$ 、 $(24,2)$ 、 $(14,4)$ 和 $(4,4,2)$ 。能被 $75=3\cdot5^2$ 整除的数必须同时含有质因数 $3$ 和 $5$ ，所以只含一个质因数的模式不可能。两个质因数模式中的最小候选数分别是 $3^{24}5^2$ 和 $3^{14}5^4$ 。最小的三质因数候选数为 $n=2^4\cdot3^4\cdot5^2\text{。}$ 它有 $(4+1)(4+1)(2+1)=75$ 个因数，而且每个二质因数候选数都更大，因为 $\frac{3^{24}5^2}{n}=\frac{3^{20}}{16}\gt1$ 以及 $\frac{3^{14}5^4}{n}=\frac{3^{10}5^2}{16}\gt1\text{。}$ 因此 $\frac n{75}=\frac{2^4\cdot3^4\cdot5^2}{3\cdot5^2}=2^4\cdot3^3=432\text{。}$

The multiplicative partitions of $75$ give exponent patterns $(74),$ $(24,2),$ $(14,4),$ and $(4,4,2).$ A number divisible by $75=3\cdot5^2$ needs both primes $3$ and $5,$ so the one-prime pattern is impossible. The smallest candidates from the two-prime patterns are $3^{24}5^2$ and $3^{14}5^4,$ respectively. The smallest three-prime candidate is $n=2^4\cdot3^4\cdot5^2.$ It has $(4+1)(4+1)(2+1)=75$ divisors, and each two-prime candidate is larger because $\frac{3^{24}5^2}{n}=\frac{3^{20}}{16}\gt1$ and $\frac{3^{14}5^4}{n}=\frac{3^{10}5^2}{16}\gt1.$ Therefore $\frac n{75}=\frac{2^4\cdot3^4\cdot5^2}{3\cdot5^2}=2^4\cdot3^3=432.$

1990 AIME 第 5 题

答案：432

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题