Question

求下列方程的正数解： $\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0\end{aligned}\text{。}$

Find the positive solution to $\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0.\end{aligned}$

答案

答案：13

知识点：换元法分式方程二次方程

难度评级：1830

小提示：

令 $y=x^2-10x$ ，使三个分母只相差常数

Set $y=x^2-10x$ so the three denominators differ only by constants

大提示：

先合并前两个分数，再消去分母

Combine the first two fractions before clearing denominators

解答：

令 $y=x^2-10x$ 。合并前两个分数并消去非零分母，得到 $(y-37)(y-69)$ 与 $(y-29)(y-45)$ 相等。展开并约去 $y^2$ ，得到 $y=39$ 。因此 $x^2-10x-39=0$ ，即 $(x-13)(x+3)=0$ 。正数解为 $13$ 。

Set $y=x^2-10x.$ Combining the first two fractions and clearing the nonzero denominators gives an equality between $(y-37)(y-69)$ and $(y-29)(y-45).$ Expanding and canceling $y^2$ yields $y=39.$ Thus $x^2-10x-39=0,$ so $(x-13)(x+3)=0.$ The positive solution is $13.$

1990 AIME 第 4 题

答案：13

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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