Question

在帕斯卡三角形中，每个数都是它上方两个数之和。该三角形的前几行如下。

$\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}$

帕斯卡三角形的哪一行中有三个连续的数，其比为 $3:4:5$ ？

In Pascal’s Triangle, each entry is the sum of the two entries above it. The first few rows of the triangle are shown below.

$\begin{array}{rl}0:&1\\1:&1\quad1\\2:&1\quad2\quad1\\3:&1\quad3\quad3\quad1\\4:&1\quad4\quad6\quad4\quad1\\5:&1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1\\6:&1\quad6\quad15\quad20\quad15\quad6\quad1\end{array}$

In which row of Pascal’s Triangle do three consecutive entries occur that are in the ratio $3:4:5?$

答案

答案：62

知识点：杨辉三角组合方程组

难度评级：1940

小提示：

将这三个数表示为 $\binom nk$ 、 $\binom n{k+1}$ 和 $\binom n{k+2}$

Represent the three entries as $\binom nk,$ $\binom n{k+1},$ and $\binom n{k+2}$

大提示：

利用相邻二项式系数之比，得到关于 $n$ 和 $k$ 的两个一次方程

Use the ratios of consecutive binomial coefficients to obtain two linear equations in $n$ and $k$

解答：

对从位置 $k$ 开始的三个连续数，有 $\begin{aligned}\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}&=\frac{n-k}{k+1}=\frac43,\\\frac{\binom n{k+2}}{\binom n{k+1}}&=\frac{n-k-1}{k+2}=\frac54\end{aligned}\text{。}$ 因此 $3n=7k+4$ ，且 $4n=9k+14$ 。解得 $k=26$ 、 $n=62$ 。

For three consecutive entries beginning at position $k,$ $\begin{aligned}\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}&=\frac{n-k}{k+1}=\frac43,\\\frac{\binom n{k+2}}{\binom n{k+1}}&=\frac{n-k-1}{k+2}=\frac54.\end{aligned}$ Thus $3n=7k+4$ and $4n=9k+14.$ Solving gives $k=26$ and $n=62.$

1992 AIME 第 4 题

答案：62

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题