Question

求满足下式的正整数 $n$ ： $\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994\end{aligned}\text{。}$ （对实数 $x$ ， $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

Find the positive integer $n$ for which $\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

答案

答案：312

知识点：取整函数对数 2的幂

难度评级：1980

小提示：

将 $\lfloor\log_2 k\rfloor$ 取值相同的整数分为一组

Group integers having the same value of $\lfloor\log_2 k\rfloor$

大提示：

先计算到 $255$ 为止的和；此后每个新增项起初都贡献 $8$

Compute the sum through $255$ , after which every new term initially contributes $8$

解答：

当 $2^j\leq k<2^{j+1}$ 时，相应的加数为 $j$ 。因此，到 $255=2^8-1$ 为止的和为 $\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538\text{。}$ 剩余的 $1994-1538=456$ 等于 $57\cdot8$ ，所以还要加入 $57$ 个从 $256$ 开始的整数。因此 $n=255+57=312$ 。

For $2^j\leq k<2^{j+1},$ the summand is $j.$ Thus the sum through $255=2^8-1$ is $\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.$ The remaining $1994-1538=456$ is $57\cdot8,$ so we include $57$ more integers beginning with $256.$ Hence $n=255+57=312.$

1994 AIME 第 4 题

答案：312

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题