Question

在一个正四面体中，四个面的中心是一个较小四面体的顶点。较小四面体的体积与较大四面体的体积之比为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

In a regular tetrahedron, the centers of the four faces are the vertices of a smaller tetrahedron. The ratio of the volume of the smaller tetrahedron to that of the larger is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：28

知识点：位似重心长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：2180

小提示：

与顶点 $A$ 相对的面的中心是 $\frac{B + C + D}{3}$ ；将它与重心 $\frac{A + B + C + D}{4}$ 比较

The center of the face opposite vertex $A$ is $\frac{B + C + D}{3};$ compare it with the centroid $\frac{A + B + C + D}{4}$

大提示：

每个面心都是相对顶点关于重心按比例 $-\frac{1}{3}$ 缩放得到的，因此两个四面体相似；体积按长度比例的三次方缩放

Each face center is the opposite vertex scaled by $-\frac{1}{3}$ about the centroid, so the two tetrahedra are similar; volume scales as the cube

解答：

使用位置向量，设 $G = \frac{A + B + C + D}{4}$ 为四面体的重心。与 $A$ 相对的面的中心为 $\begin{aligned} \frac{B + C + D}{3} &= \frac{4G - A}{3} \\ &= G - \frac{1}{3}(A - G) \end{aligned}\text{，}$ 因此每个面心都是相对顶点在以 $G$ 为中心、比例为 $-\frac{1}{3}$ 的位似变换下的像。

所以较小四面体与较大四面体相似，长度比为 $\frac{1}{3}$ ，体积比为 $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ ，因而 $m + n = 1 + 27 = 28$ 。

Use position vectors, and let $G = \frac{A + B + C + D}{4}$ be the centroid of the tetrahedron. The center of the face opposite $A$ is $\begin{aligned} \frac{B + C + D}{3} &= \frac{4G - A}{3} \\ &= G - \frac{1}{3}(A - G), \end{aligned}$ so each face center is the image of the opposite vertex under the homothety centered at $G$ with ratio $-\frac{1}{3}.$

Hence the smaller tetrahedron is similar to the larger with ratio $\frac{1}{3},$ and its volume is $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ of the larger. Thus $m + n = 1 + 27 = 28.$

2003 AIME II 第 4 题

答案：28

难度评级：2180

小提示：

大提示：

解答：

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