Question

设 $S$ 为满足如下性质的正整数 $N$ 的集合： $N$ 的最后四位数字是 $2020$ ，且去掉最后四位后所得的数是 $N$ 的一个因数。例如， $42{,}020$ 属于 $S$ ，因为 $4$ 是 $42{,}020$ 的因数。求 $S$ 中所有数的所有数字之和。例如，数 $42{,}020$ 对这个总和的贡献为 $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ 。

Let $S$ be the set of positive integers $N$ with the property that the last four digits of $N$ are $2020,$ and when the last four digits are removed, the result is a divisor of $N.$ For example, $42{,}020$ is in $S$ because $4$ is a divisor of $42{,}020.$ Find the sum of all the digits of all the numbers in $S.$ For example, the number $42{,}020$ contributes $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ to this total.

答案

答案：93

知识点：整除性因数数字

难度评级：2230

小提示：

写 $N = 10000k + 2020$ ；那么 $k$ 整除 $N$ 恰好等价于 $k$ 整除 $2020$ 。

Write $N = 10000k + 2020;$ then $k$ divides $N$ exactly when $k$ divides $2020.$

大提示：

$2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ 的这 $12$ 个因数 $k$ 中，每个都会贡献 $k$ 的数字和再加上 $2 + 0 + 2 + 0$ 。

Each of the $12$ divisors $k$ of $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ contributes the digit sum of $k$ plus $2 + 0 + 2 + 0.$

解答：

若去掉最后四位后留下 $k \ge 1$ ，则 $N = 10000k + 2020$ ， $k$ 整除 $N$ 这一条件等价于 $k$ 整除 $2020$ 。由于 $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ ， $k$ 共有 $12$ 种选择： $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $20$ 、 $101$ 、 $202$ 、 $404$ 、 $505$ 、 $1010$ 、 $2020$ 。

$S$ 中每个数的数字和等于 $k$ 的数字和加上 $2 + 0 + 2 + 0 = 4$ 。这十二个因数的数字和分别为 $1, 2, 4, 5, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 2, 4$ ，总和为 $45$ 。

答案是 $45 + 12 \cdot 4 = 93$ 。

If removing the last four digits leaves $k \ge 1,$ then $N = 10000k + 2020,$ and the condition that $k$ divides $N$ is equivalent to $k$ dividing $2020.$ Since $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101,$ there are $12$ choices of $k:$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ $10,$ $20,$ $101,$ $202,$ $404,$ $505,$ $1010,$ $2020.$

Each member of $S$ has digit sum equal to the digit sum of $k$ plus $2 + 0 + 2 + 0 = 4.$ The digit sums of the twelve divisors are $1, 2, 4, 5, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 2, 4,$ totaling $45.$

The answer is $45 + 12 \cdot 4 = 93.$

2020 AIME I 第 4 题

答案：93

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

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