Question

点 $B$ 在线段 $\overline{AC}$ 上，且 $AB = 16$ 、 $BC = 4$ 。点 $D$ 和 $E$ 在直线 $AC$ 的同侧，分别形成等边三角形 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCE$ 。设 $M$ 为 $\overline{AE}$ 的中点， $N$ 为 $\overline{CD}$ 的中点。 $\triangle BMN$ 的面积为 $x$ 。求 $x^2$ 。

Point $B$ lies on line segment $\overline{AC}$ with $AB = 16$ and $BC = 4.$ Points $D$ and $E$ lie on the same side of line $AC$ forming equilateral triangles $\triangle ABD$ and $\triangle BCE.$ Let $M$ be the midpoint of $\overline{AE},$ and $N$ be the midpoint of $\overline{CD}.$ The area of $\triangle BMN$ is $x.$ Find $x^2.$

答案

答案：507

知识点：坐标几何等边三角形距离公式

难度评级：2390

小提示：

令 $B$ 为原点，取 $A = (-16, 0)$ 、 $C = (4, 0)$ ，并用等边三角形的高写出 $D$ 与 $E$

Put $B$ at the origin with $A = (-16, 0)$ and $C = (4, 0),$ and write $D$ and $E$ using equilateral-triangle altitudes

大提示：

计算中点 $M$ 、 $N$ 以及三条边长 $BM$ 、 $MN$ 、 $NB$ ；三角形 $BMN$ 会是等边三角形

Compute the midpoints $M$ and $N$ and the three distances $BM,$ $MN,$ $NB;$ triangle $BMN$ turns out equilateral

解答：

取 $B = (0, 0)$ 、 $A = (-16, 0)$ 、 $C = (4, 0)$ 。每个等边三角形的顶点位于底边中点上方，高为边长的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $D = (-8, 8\sqrt{3})$ ， $E = (2, 2\sqrt{3})$ 。中点为 $M = (-7, \sqrt{3})$ 与 $N = (-2, 4\sqrt{3})$ 。

现在 $BM^2 = 49 + 3 = 52$ ， $BN^2 = 4 + 48 = 52$ ，且 $MN^2 = 25 + 27 = 52$ ，所以 $\triangle BMN$ 是边长为 $\sqrt{52}$ 的等边三角形。其面积为 $x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 52 = 13\sqrt{3}$ ，因此 $x^2 = 169 \cdot 3 = 507$ 。

Place $B = (0, 0),$ $A = (-16, 0),$ and $C = (4, 0).$ Each equilateral triangle has its apex above the midpoint of its base at height $\frac{\sqrt{3}}{2}$ times the side, so $D = (-8, 8\sqrt{3})$ and $E = (2, 2\sqrt{3}).$ The midpoints are $M = (-7, \sqrt{3})$ and $N = (-2, 4\sqrt{3}).$

Now $BM^2 = 49 + 3 = 52,$ $BN^2 = 4 + 48 = 52,$ and $MN^2 = 25 + 27 = 52,$ so $\triangle BMN$ is equilateral with side $\sqrt{52}.$ Its area is $x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 52 = 13\sqrt{3},$ so $x^2 = 169 \cdot 3 = 507.$

2015 AIME I 第 4 题

答案：507

难度评级：2390

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