Question

一个正方形的边长为 $2$ 。集合 $\mathcal{S}$ 是所有长度为 $2$ 、且端点分别在该正方形相邻两边上的线段的集合。集合 $\mathcal{S}$ 中线段的中点围成一个区域，其面积四舍五入到百分位为 $k$ 。求 $100k$ 。

A square has sides of length $2.$ Set $\mathcal{S}$ is the set of all line segments that have length $2$ and whose endpoints are on adjacent sides of the square. The midpoints of the line segments in set $\mathcal{S}$ enclose a region whose area to the nearest hundredth is $k.$ Find $100k.$

答案

答案：86

知识点：中线（几何）直角三角形圆面积

难度评级：2270

小提示：

放置端点的两条相邻边交于一个顶点，而这条线段是一个直角三角形的斜边，两条直角边沿着这两条边

The two adjacent sides holding the endpoints meet at a corner, and the segment is the hypotenuse of a right triangle with legs along those sides

大提示：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以每个中点到最近顶点的距离都是 $1$

The median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so every midpoint is at distance $1$ from the nearest corner

解答：

设线段 $\overline{PQ}$ 属于 $\mathcal{S}$ ，其端点在交于顶点 $A$ 的两条边上，且 $M$ 是其中点。三角形 $PAQ$ 在 $A$ 处为直角，斜边 $PQ = 2$ ，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此 $AM = 1$ 。反过来，从某个顶点出发、位于两条相邻边之间且距离该顶点为 $1$ 的每个点都是这样的中点。所以这些中点形成四段半径为 $1$ 、以正方形顶点为圆心的四分之一圆弧。

这些圆弧围成的区域是从正方形中去掉四个四分之一圆盘，面积为 $4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - \pi \approx 0.86\text{。}$ 因此 $100k = 86$ 。

Let a segment $\overline{PQ}$ in $\mathcal{S}$ have endpoints on two sides meeting at corner $A,$ and let $M$ be its midpoint. Triangle $PAQ$ is right-angled at $A$ with hypotenuse $PQ = 2,$ and the median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so $AM = 1.$ Conversely every point at distance $1$ from a corner (between the two adjacent sides) is such a midpoint, so the midpoints form four quarter-circle arcs of radius $1$ centered at the corners of the square.

The region these arcs enclose is the square with the four quarter-disks removed, of area $4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - \pi \approx 0.86.$ Therefore $100k = 86.$

2004 AIME I 第 4 题

答案：86

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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