Question

在三角形 $ABC$ 中，角 $A$ 和角 $B$ 分别为 $60$ 度和 $45$ 度。角 $A$ 的角平分线交 $\overline{BC}$ 于 $T$ ，且 $AT = 24$ 。三角形 $ABC$ 的面积可写成 $a + b\sqrt{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，且 $c$ 不被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$ 。

In triangle $ABC,$ angles $A$ and $B$ measure $60$ degrees and $45$ degrees, respectively. The bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at $T,$ and $AT = 24.$ The area of triangle $ABC$ can be written in the form $a + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

答案

答案：291

知识点：导角等腰三角形特殊直角三角形三角形面积

难度评级：2390

小提示：

$\angle C = 75^\circ$ ，而 $\angle ATC = 75^\circ$ ，所以 $AC = AT = 24$ 。

$\angle C = 75^\circ$ and $\angle ATC = 75^\circ$ too, so $AC = AT = 24$

大提示：

从 $C$ 向 $\overline{AB}$ 作高：它把 $ABC$ 分成一个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形和一个 $45$ - $45$ - $90$ 三角形。

Drop the altitude from $C$ to $\overline{AB}:$ it cuts $ABC$ into a $30$ - $60$ - $90$ triangle and a $45$ - $45$ - $90$ triangle

解答：

因为 $\angle A = 60^\circ$ 且 $\angle B = 45^\circ$ ，所以 $\angle C = 75^\circ$ 。在三角形 $ATC$ 中，角 $TAC = 30^\circ$ （角 $A$ 的一半），所以 $\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ$ $= 75^\circ$ 。因此三角形 $ACT$ 为等腰三角形，且 $AC = AT = 24$ 。

向 $\overline{AB}$ 作高 $CH$ 。三角形 $ACH$ 是 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，所以 $AH = 12$ ， $CH = 12\sqrt{3}$ 。三角形 $BCH$ 是 $45$ - $45$ - $90$ 三角形，所以 $BH = CH = 12\sqrt{3}$ 。

面积为 $\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$ $= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3})$ $= 216 + 72\sqrt{3}$ 。因此 $a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291$ 。

Since $\angle A = 60^\circ$ and $\angle B = 45^\circ,$ we have $\angle C = 75^\circ.$ In triangle $ATC,$ angle $TAC = 30^\circ$ (half of angle $A$ ), so $\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ$ $= 75^\circ.$ Thus triangle $ACT$ is isosceles with $AC = AT = 24.$

Drop the altitude $CH$ to $\overline{AB}.$ Triangle $ACH$ is $30$ - $60$ - $90,$ so $AH = 12$ and $CH = 12\sqrt{3}.$ Triangle $BCH$ is $45$ - $45$ - $90,$ so $BH = CH = 12\sqrt{3}.$

The area is $\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$ $= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3})$ $= 216 + 72\sqrt{3}.$ Then $a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.$

2001 AIME I 第 4 题

答案：291

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