Question

设当 $i=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $n$ 时，均有 $|x_i|\lt1$ 。并且

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|\end{aligned}\text{。}$

$n$ 的最小可能值是多少？

Suppose that $|x_i|\lt1$ for $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Suppose further that

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}$

What is the smallest possible value of $n?$

答案

答案：20

知识点：绝对值不等式极端原理

难度评级：1920

小提示：

令 $P$ 为正项之和， $N$ 为负项绝对值之和

Let $P$ be the sum of the positive terms and $N$ the sum of the absolute values of the negative terms

大提示：

左边减去最后一个绝对值等于 $2\min(P,N)$

The left side minus the final absolute value equals $2\min(P,N)$

解答：

令 $P$ 为正的 $x_i$ 之和， $N$ 为负的 $x_i$ 的绝对值之和。于是 $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19\end{aligned}\text{，}$ 所以 $P$ 和 $N$ 都至少为 $9.5$ 。因为每个 $|x_i|\lt1$ ，正、负两类各至少需要 $10$ 项，从而 $n\geq20$ 。取十项等于 $0.95$ ，另十项等于 $-0.95$ ，即可取到等号，所以最小值为 $20$ 。

Let $P$ be the sum of the positive $x_i$ and $N$ the sum of the absolute values of the negative $x_i.$ Then $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}$ so both $P$ and $N$ are at least $9.5.$ Because every $|x_i|\lt1,$ each sign requires at least $10$ terms, giving $n\geq20.$ Equality is attainable with ten terms equal to $0.95$ and ten equal to $-0.95,$ so the minimum is $20.$

1988 AIME 第 4 题

答案：20

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题