Question

若 $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x)$ ，求 $(\log_2 x)^2$ 。

Find $(\log_2 x)^2$ if $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

答案

答案：27

知识点：对数换元法代数变形

难度评级：1860

小提示：

令 $y=\log_2x$ ，并将所有以 $8$ 为底的对数改写成以 $2$ 为底

Set $y=\log_2x$ and rewrite every base- $8$ logarithm in base $2$

大提示：

解出所得一次方程中的 $\log_2 y$

Solve the resulting linear equation for $\log_2 y$

解答：

令 $y=\log_2x\gt0$ 。因为 $\log_8x=\frac{y}{3}$ ，原方程化为 $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y\text{。}$ 因而 $\frac23\log_2y=\log_23$ ，所以 $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3$ 。因此 $(\log_2x)^2=y^2=27$ 。

Put $y=\log_2x\gt0.$ Since $\log_8x=\frac{y}{3},$ the equation becomes $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.$ Hence $\frac23\log_2y=\log_23,$ so $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.$ Therefore $(\log_2x)^2=y^2=27.$

1988 AIME 第 3 题

答案：27

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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