Question

若正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $c=(a+bi)^3-107i$ ，其中 $i^2=-1$ ，求 $c$ 。

Find $c$ if $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers which satisfy $c=(a+bi)^3-107i,$ where $i^2=-1.$

答案

答案：198

知识点：复数丢番图方程因式分解

难度评级：2160

小提示：

展开 $(a+bi)^3$ ，并令其虚部等于 $107$

Expand $(a+bi)^3$ and set its imaginary part equal to $107$

大提示：

所得方程说明正整数 $b$ 是 $107$ 的因数

The resulting equation shows that the positive integer $b$ divides $107$

解答：

展开并利用 $c$ 为实数，可得 $b(3a^2-b^2)=107\text{。}$ 由于 $107$ 是质数， $b=1$ 或 $107$ 。后一种情形要求 $3a^2=11450$ ，这是不可能的。因此 $b=1$ ，且 $3a^2-1=107$ ，从而 $a=6$ 。实部为 $c=a^3-3ab^2=216-18=198\text{。}$

Expanding and using that $c$ is real gives $b(3a^2-b^2)=107.$ Since $107$ is prime, $b=1$ or $107.$ The latter would require $3a^2=11450,$ which is impossible. Thus $b=1,$ and $3a^2-1=107,$ so $a=6.$ The real part is $c=a^3-3ab^2=216-18=198.$

1985 AIME 第 3 题

答案：198

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题