Question

求下列方程所有实根的乘积： $\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45} \end{gathered}\text{？}$

What is the product of the real roots of the equation $\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}$

答案

答案：20

知识点：根式换元法韦达定理

难度评级：2210

小提示：

根号外的表达式比被开方数少 $15$

The expression outside the radical is $15$ less than the radicand

大提示：

令 $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ ，并解 $t^2-15=2t$

Set $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ and solve $t^2-15=2t$

解答：

令 $t=\sqrt{x^2+18x+45}$ ，则 $t\geq0$ 。原方程化为 $t^2-15=2t\text{，}$ 即 $(t-5)(t+3)=0$ 。因此 $t=5$ ，并且 $x^2+18x+45=25\text{，}$ 所以实根满足 $x^2+18x+20=0$ 。由韦达定理，所有实根的乘积为 $20$ 。

Set $t=\sqrt{x^2+18x+45},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t^2-15=2t,$ or $(t-5)(t+3)=0.$ Thus $t=5,$ and $x^2+18x+45=25,$ so the real roots satisfy $x^2+18x+20=0.$ By Vieta’s formulas, their product is $20.$

1983 AIME 第 3 题

答案：20

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题