Question

求所有正整数 $n$ 的和，使得 $n^2 - 19n + 99$ 是完全平方数。

Find the sum of all positive integers $n$ for which $n^2 - 19n + 99$ is a perfect square.

答案

答案：38

知识点：完全平方数配方法平方差

难度评级：2180

小提示：

乘以 $4$ 并配方： $4(n^2 - 19n + 99)$ $= (2n - 19)^2 + 35$

Multiply by $4$ and complete the square: $4(n^2 - 19n + 99)$ $= (2n - 19)^2 + 35$

大提示：

如果该表达式等于 $k^2$ ，那么 $(2k)^2 - (2n - 19)^2 = 35$ ；用所有方式把 $35$ 分解成平方差

If the expression equals $k^2,$ then $(2k)^2 - (2n - 19)^2 = 35;$ factor $35$ as a difference of squares in every way

解答：

设 $n^2 - 19n + 99 = k^2$ 。两边乘以 $4$ 并配方，得 $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2$ ，所以 $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35 \end{aligned}\text{。}$ 这两个因子的和为 $4k \gt 0$ ，所以二者都为正：因子对为 $(1, 35)$ 、 $(5, 7)$ 、 $(7, 5)$ 和 $(35, 1)$ 。

后一个因子减去前一个因子，得到 $2(2n - 19) = 34$ ， $2$ ， $-2$ ，或 $-34$ ，因此 $n = 18$ ， $10$ ， $9$ ，或 $1$ 。它们确实分别使表达式成为完全平方数（ $81$ ， $9$ ， $9$ ， $81$ ），其和为 $18 + 10 + 9 + 1 = 38$ 。

Suppose $n^2 - 19n + 99 = k^2.$ Multiplying by $4$ and completing the square gives $(2n - 19)^2 + 35 = (2k)^2,$ so $\begin{aligned} &\bigl(2k - (2n - 19)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(2k + (2n - 19)\bigr) \\ &= 35. \end{aligned}$ The two factors sum to $4k \gt 0,$ so both are positive: the factor pairs are $(1, 35),$ $(5, 7),$ $(7, 5),$ and $(35, 1).$

Subtracting the first factor from the second gives $2(2n - 19) = 34,$ $2,$ $-2,$ or $-34,$ so $n = 18,$ $10,$ $9,$ or $1.$ Each indeed makes the expression a perfect square ( $81,$ $9,$ $9,$ $81$ ), and the sum is $18 + 10 + 9 + 1 = 38.$

1999 AIME 第 3 题

答案：38

难度评级：2180

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