Question

若 $\tan x+\tan y=25$ ，且 $\cot x+\cot y=30$ ，求 $\tan(x+y)$ 。

If $\tan x+\tan y=25$ and $\cot x+\cot y=30,$ what is $\tan(x+y)?$

答案

答案：150

知识点：代数变形三角恒等式

难度评级：1700

小提示：

用 $\tan x$ 和 $\tan y$ 表示两个余切之和

Express the sum of the cotangents using $\tan x$ and $\tan y$

大提示：

求出 $\tan x\tan y$ 后，使用正切和角公式

Use the tangent addition formula after finding $\tan x\tan y$

解答：

由于 $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y}\text{，}$ 已知方程给出 $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$ 。因此 $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150 \end{aligned}\text{。}$

Since $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y},$ the given equations yield $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ Therefore $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150. \end{aligned}$

1986 AIME 第 3 题

答案：150

难度评级：1700

小提示：

大提示：

解答：

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