Question

满足 $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ 的 $x$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

The value of $x$ that satisfies $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：103

知识点：对数分式方程

难度评级：1950

小提示：

换底： $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ ，右边也类似

Change of base: $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2},$ and similarly for the right side

大提示：

方程化为 $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}$ ，这是关于 $x$ 的一次方程

The equation reduces to $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3},$ which is linear in $x$

解答：

由换底公式， $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ 且 $\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}\text{。}$ 约去公共因子 $\frac{\log 3}{\log 2}$ ，得到 $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}$ 。

交叉相乘得 $20x + 60 = 2020x$ ，所以 $2000x = 60$ ，从而 $x = \frac{3}{100}$ 。因此 $m + n = 3 + 100 = 103$ 。

By the change-of-base formula, $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ and $\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.$ Cancelling the common factor $\frac{\log 3}{\log 2}$ leaves $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.$

Cross-multiplying gives $20x + 60 = 2020x,$ so $2000x = 60$ and $x = \frac{3}{100}.$ Thus $m + n = 3 + 100 = 103.$

2020 AIME II 第 3 题

答案：103

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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