Question

一个自然数的真因数是除 $1$ 和该数本身以外的正整数因数。如果一个大于 $1$ 的自然数等于其所有不同真因数的乘积，就称它为“美好数”。求前十个美好数之和。

A proper divisor of a natural number is a positive integral divisor other than $1$ and the number itself. A natural number greater than $1$ is called “nice” if it equals the product of its distinct proper divisors. What is the sum of the first ten nice numbers?

答案

答案：182

知识点：因数个数质因数分解

难度评级：1830

小提示：

用该数及其正因数个数表示所有正因数的乘积

Express the product of all positive divisors in terms of the number and its divisor count

大提示：

美好数恰好是有四个正因数的数

The nice numbers are exactly those having four positive divisors

解答：

若 $N$ 有 $d$ 个正因数，则它们的乘积为 $N^{\frac{d}{2}}$ 。去掉 $1$ 和 $N$ 后，剩余乘积为 $N^{\frac{d}{2}-1}$ ，它恰好在 $d=4$ 时等于 $N$ 。因此，美好数恰好是 $p^3$ 或 $pq$ 形式的数，其中后者的两个质数不同。前十个美好数为 $6$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $14$ 、 $15$ 、 $21$ 、 $22$ 、 $26$ 、 $27$ 、 $33$ ，它们的和为 $182$ 。

If $N$ has $d$ positive divisors, their product is $N^{\frac{d}{2}}.$ Removing $1$ and $N$ leaves product $N^{\frac{d}{2}-1},$ which equals $N$ exactly when $d=4.$ Thus nice numbers are precisely $p^3$ and $pq$ for distinct primes. The first ten are $6,$ $8,$ $10,$ $14,$ $15,$ $21,$ $22,$ $26,$ $27,$ $33,$ whose sum is $182.$

1987 AIME 第 3 题

答案：182

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题