Question

复数 $z$ 等于 $9 + bi$ ，其中 $b$ 是正实数且 $i^2 = -1$ 。已知 $z^2$ 和 $z^3$ 的虚部相等，求 $b$ 。

The complex number $z$ is equal to $9 + bi,$ where $b$ is a positive real number and $i^2 = -1.$ Given that the imaginary parts of $z^2$ and $z^3$ are equal, find $b.$

答案

答案：15

知识点：复数二项式定理

难度评级：1970

小提示：

用二项式定理展开 $(9 + bi)^2$ 和 $(9 + bi)^3$ 然后取出虚部

Expand $(9 + bi)^2$ and $(9 + bi)^3$ with the binomial theorem and extract the imaginary parts

大提示：

两个虚部都能被 $b$ 整除；先约去它再求解

Both imaginary parts are divisible by $b;$ cancel it before solving

解答：

由二项式定理， $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ ，且 $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i$ 。令虚部相等，得到 $18b = 243b - b^3$ 。

因为 $b$ 为正，所以可同除以 $b$ ，得 $b^2 = 243 - 18 = 225$ ，因此 $b = 15$ 。

By the binomial theorem, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ and $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i.$ Setting the imaginary parts equal gives $18b = 243b - b^3.$

Since $b$ is positive we may divide by $b,$ leaving $b^2 = 243 - 18 = 225,$ so $b = 15.$

2007 AIME I 第 3 题

答案：15

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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