2007 AIME I Problem 3

Below is the professionally curated solution for Problem 3 of the 2007 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2007 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:complex number binomial theorem

Difficulty rating: 1970

The complex number $z$ is equal to $9 + bi,$ where $b$ is a positive real number and $i^2 = -1.$ Given that the imaginary parts of $z^2$ and $z^3$ are equal, find $b.$

答案

Solution:

By the binomial theorem, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ and $z^3 = (729 - 27b^2) + (243b - b^3)i.$ Setting the imaginary parts equal gives $18b = 243b - b^3.$

Since $b$ is positive we may divide by $b,$ leaving $b^2 = 243 - 18 = 225,$ so $b = 15.$

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