Question

求方程 $x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0$ 的所有根（实根和非实根）之和。已知该方程没有重根。

Find the sum of the roots, real and non-real, of the equation $x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0,$ given that there are no multiple roots.

答案

答案：500

知识点：多项式韦达定理二项式定理

难度评级：2300

小提示：

展开 $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ 时， $x^{2001}$ 项会被抵消，留下一个 $2000$ 次多项式。

Expanding $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ cancels the $x^{2001}$ term, leaving a polynomial of degree $2000$

大提示：

根之和等于 $x^{1999}$ 项系数的相反数除以 $x^{2000}$ 项系数。

The sum of the roots is minus the coefficient of $x^{1999}$ divided by the coefficient of $x^{2000}$

解答：

用二项式定理展开 $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ 。它的最高次项 $(-x)^{2001} = -x^{2001}$ 会与方程中的 $x^{2001}$ 抵消，所以剩下的是一个 $2000$ 次多项式： $\begin{aligned} &2001 \cdot \frac{1}{2}\,x^{2000} \\ &\quad {}- \binom{2001}{2}\frac{1}{4}\,x^{1999} + \cdots = 0 \end{aligned}\text{。}$

由韦达定理， $2000$ 个根的和为 $\begin{aligned} \frac{\frac{\binom{2001}{2}}{4}}{\frac{2001}{2}} &= \frac{\frac{2001 \cdot 2000}{8}}{\frac{2001}{2}} \\ &= \frac{2000}{4} = 500 \end{aligned}\text{。}$

Expand $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ by the binomial theorem. Its leading term $(-x)^{2001} = -x^{2001}$ cancels the $x^{2001}$ in the equation, so what remains is a polynomial of degree $2000:$ $\begin{aligned} &2001 \cdot \frac{1}{2}\,x^{2000} \\ &\quad {}- \binom{2001}{2}\frac{1}{4}\,x^{1999} + \cdots = 0. \end{aligned}$

By Vieta’s formulas, the sum of the $2000$ roots is $\begin{aligned} \frac{\frac{\binom{2001}{2}}{4}}{\frac{2001}{2}} &= \frac{\frac{2001 \cdot 2000}{8}}{\frac{2001}{2}} \\ &= \frac{2000}{4} = 500. \end{aligned}$

2001 AIME I 第 3 题

答案：500

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题