2009 AIME I Problem 3

Below is the professionally curated solution for Problem 3 of the 2009 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2009 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:binomial probability algebraic manipulation

Difficulty rating: 2150

A coin that comes up heads with probability $p \gt 0$ and tails with probability $1 - p \gt 0$ independently on each flip is flipped eight times. Suppose the probability of three heads and five tails is equal to $\frac{1}{25}$ of the probability of five heads and three tails. Let $p = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

Solution:

The condition says $\binom{8}{3} p^3 (1-p)^5 = \frac{1}{25} \binom{8}{5} p^5 (1-p)^3.$ Since $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$ and both $p$ and $1 - p$ are positive, dividing by $p^3(1-p)^3$ leaves $(1-p)^2 = \frac{p^2}{25},$ so $1 - p = \frac{p}{5}.$

Hence $p = \frac{5}{6},$ and $m + n = 5 + 6 = 11.$

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