Question

一个半径为 $200$ 的半球放在一个半径为 $200$ 的水平圆盘上，且半球与圆盘同心。令 $\mathcal{T}$ 为圆盘中所有点 $P$ 组成的区域，使得一个半径为 $42$ 的球可以放在圆盘上并在点 $P$ 处接触圆盘，同时完全位于半球内部。 $\mathcal{T}$ 的面积除以圆盘面积为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p + q$ 。

A hemisphere with radius $200$ sits on top of a horizontal circular disk with radius $200,$ and the hemisphere and disk have the same center. Let $\mathcal{T}$ be the region of points $P$ in the disk such that a sphere of radius $42$ can be placed on top of the disk at $P$ and lie completely inside the hemisphere. The area of $\mathcal{T}$ divided by the area of the disk is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：79

知识点：球立体几何圆面积平方差

难度评级：2180

小提示：

小球半径为 $42$ ，其球心位于 $P$ 正上方；它正好能放入半球内，当且仅当球心到公共球心的距离不超过 $200 - 42$

The small sphere’s center sits $42$ directly above $P,$ and the sphere fits inside the hemisphere exactly when its center is within $200 - 42$ of the common center

大提示：

若 $d$ 是圆盘中心到 $P$ 的距离，则条件是 $d^2 + 42^2 \le 158^2$ ，而 $158^2 - 42^2$ 可用平方差分解

With $d$ the distance from the center of the disk to $P,$ the condition is $d^2 + 42^2 \le 158^2,$ and $158^2 - 42^2$ factors as a difference of squares

解答：

一个半径为 $42$ 、球心位于 $P$ 正上方 $42$ 处的球，会在 $P$ 处接触圆盘。它完全位于半径为 $200$ 的半球内，当且仅当球心到公共中心的距离不超过 $200 - 42 = 158$ 。记公共中心为 $O$ 。若 $d$ 是 $O$ 到 $P$ 的距离，则小球球心到中心的距离为 $\sqrt{d^2 + 42^2}$ ，也就是它到 $O$ 的距离，所以条件为 $d^2 + 42^2 \le 158^2$ 。

由平方差， $d^2 \le 158^2 - 42^2$ $= 116 \cdot 200$ $= 23200$ 。因此 $\mathcal{T}$ 是半径为 $\sqrt{23200}$ 的圆盘，面积比为 $\frac{23200}{200^2} = \frac{23200}{40000} = \frac{29}{50}\text{。}$ 所以 $p + q = 29 + 50 = 79$ 。

A sphere of radius $42$ resting on the disk at $P$ has its center $42$ directly above $P.$ It lies inside the hemisphere of radius $200$ exactly when its center is within $200 - 42 = 158$ of the common center $O.$ If $d$ is the distance from $O$ to $P,$ the center of the sphere is at distance $\sqrt{d^2 + 42^2}$ from $O,$ so the condition is $d^2 + 42^2 \le 158^2.$

By difference of squares, $d^2 \le 158^2 - 42^2$ $= 116 \cdot 200$ $= 23200.$ Thus $\mathcal{T}$ is a disk of radius $\sqrt{23200},$ and the ratio of areas is $\frac{23200}{200^2} = \frac{23200}{40000} = \frac{29}{50}.$ Therefore $p + q = 29 + 50 = 79.$

2026 AIME I 第 3 题

答案：79

难度评级：2180

小提示：

大提示：

解答：

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