Question

设集合 $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}$ 。苏珊按如下方式列出一张清单：对于 $\mathcal{S}$ 的每个二元子集，她在清单上写下该子集中较大的元素。求清单上所有数的和。

Let the set $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}.$ Susan makes a list as follows: for each two-element subset of $\mathcal{S},$ she writes on her list the greater of the set’s two elements. Find the sum of the numbers on the list.

答案

答案：484

知识点：数对计数双重计数

难度评级：1840

小提示：

每个元素会因为集合中每个比它小的元素而在表上出现一次。

Each element is written on the list once for every smaller element in the set

大提示：

将集合排成 $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ ，并把每个元素乘以比它小的元素个数。

Sort the set as $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ and multiply each element by the count of smaller elements

解答：

元素 $x$ 与集合中每个比它小的元素组成二元子集时，都会成为较大的元素，因此 $x$ 对总和的贡献次数等于比它小的元素个数。将集合排序为 $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ ，表上所有数的和为 $\begin{aligned} &0(1) + 1(2) + 2(3) + 3(5) \\ &\quad {}+ 4(8) + 5(13) + 6(21) \\ &\quad {}+ 7(34) \\ &= 2 + 6 + 15 + 32 \\ &\quad {}+ 65 + 126 + 238 = 484 \end{aligned}\text{。}$

An element $x$ is the greater element of a two-element subset exactly once for each smaller element of the set, so $x$ contributes to the sum once per element below it. Sorting the set as $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,$ the sum of the list is $\begin{aligned} &0(1) + 1(2) + 2(3) + 3(5) \\ &\quad {}+ 4(8) + 5(13) + 6(21) \\ &\quad {}+ 7(34) \\ &= 2 + 6 + 15 + 32 \\ &\quad {}+ 65 + 126 + 238 = 484. \end{aligned}$

2003 AIME I 第 3 题

答案：484

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题